A Propriedade Cumutativa da Multiplicação

Se um sujeito vai jogar saquinhos de bala dentro do baleiro “n” vezes, importa a ordem dos saquinhos?

Os professores vivem dizendo: numa multiplicação, a ordem dos fatores não altera o resultado.

Depois eles escrevem coisas assim na lousa:

A x B x C = B x A x C

4 x 2 x 6 x = 2 x 4 x 6

Ok. Os professores chamam isso de propriedade cumutativa da multiplicação, querendo dizer: troque os fatores de lugar (comute os fatores) e o resultado da multiplicação permanece o mesmo. Mas como o professor pode ter a certeza de que a ordem dos fatores nunca altera a multiplicação? E quando falamos de milhares de fatores? De milhões?

Podemos provar a propriedade comutativa da multiplicação com desenhos e gráficos. É o que os matemáticos chamam de “provas sem palavras”, porque basta olhar para o desenho para ver que a propriedade esta provada.

Podemos representar 8 x 5 assim:

E, para representar 5 x 8, basta girar o desenho acima em 90 graus:

Em qualquer dos casos, o número de bolinhas não se altera:

40 bolinhas para 8 x 5 e 40 bolinhas para 5 x 8. Fica claro que, para qualquer número de linhas e de colunas, o número de bolinhas será o mesmo quando giramos a imagem em 90 graus.